VORGEHEN BEIM ZEICHNEN VON PHASENPORTRAITS UND BIFURKATIONSDIAGRAMMEN
[ein grob gekürzter icq-chatlog-mitschnitt, fehler möglich ;) ]
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also, zuerst ein blick auf die aufgstellung: {PD2-Klausur 2005}
da steht phasenportr. für mue kleiner, gleich und größer als muekrit(i)
muekrit(i) bedeutet es gibt mehrere. diese sind: 0 und 1
also brauchen wir phasenportrait für folgende mue-werte: 
kleiner 0,  gleich 0, zwischen 0 und 1 , gleich 1 , größer 1. so weit klar.
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kleiner 0: welche RL existieren überhaupt? r=0 und r=1
welche stab. haben die? r=0 ist stabil und r=1 instabil
also sieht das so aus: ein punkt, auf den alle trajektorien
spiralförmig zulaufen, die innerhalb des einheitskreises 
starten (also alle in den origo ;) ) und die außerhalb 
starten spiralen ins unendliche.
der einheitskreis selbst wird auch durchgezeichnet, 
denn wenn man GENAU drauf startet, bleibt man da.
also lokal gesehen is der origo (r=0) jetzt ein wirbel, ein stabiler. 
um den wirbel herum kommt dann ein instabiler grenzzyklus. (der bei r=1)
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danach würde ich für mue zw 0 u 1 und für mue größer 1 zeichnen.
und dann erst für die grenzfälle.
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für mue zw. 0 u 1 exist. alle RL und nur die sqrt(mue) is stabil
das sieht so aus: origo is instabiler wirbel, die spiralen laufen
raus und hinein in einen kreis mit radius sqrt(mue). ... 
(dieser sollte natürlich kleiner als der einheitskreis sein. ;) ) 
... auch innerhalb des kreisringes zwischen beiden kreisen laufen 
die traj. spiralförmig in den kleineren hinein. und außerhalb des 
einheitskreises laufen die traj. wieder ins unendliche, 
is ja immer noch instabil die RL.
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frage1: ist die richtung eigentlich freiwählbar in die grenzzyklen 
sich drehen/verlaufen
nein. die drehen bitte immer in dieselbe richtung!
und zwar in die richtung, in der theta größer wird! so steht's 
in der aufgabe: thetapunkt=1 also positiv. 
anmerkung: wenn nicht anders vorgegeben, werden winkel 
im mathem. pos. drehsinn größer! (d.h. entgegen UZS) 
... also müssten hier alle spiralen entgegen UZS gehen. ;) 
... kannst aber zur sicherheit immer(!) deine pos. thetarichtung definieren!
wenn du alles falsch hast, definiere die theta richtung andersrum! 
is ja erlaubt. musste nur hinschreiben. deutlich hinschreiben.
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frage2: ist die sqrt(mü) auch durchgezeichnet?
ALLE grenzzyklen, ob bei dem jeweiligen param.wert 
stabil oder nicht, sind durchgezogene linien!
DENN sie sind ja trajektorien! wenn mann GENAU drauf startet, 
bleibt man drauf. für immer! ;)
kannst aber instabile rot und stabile blau malen. freut sich der korrekteur. :D 
dann heben die sich ein wenig ab von den ganzen spirallinien.
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mue größer 1: da exist. alle RL, stabil is aber nur die bei r=1.
das sieht so aus: origo is instabiler wirbel, die spiralen laufen raus
 und hinein in einen kreis mit radius 1. ... (dieser sollte natürlich 
kleiner als der mit radius sqrt(mue) sein. ;) ) ... auch innerhalb des
kreisringes zwischen beiden kreisen laufen die traj. spiralförmig 
in den kleineren hinein. und außerhalb des großen kreises laufen 
die traj. wieder ins unendliche.
also sieht's genauso aus nur ist die aüßere jetzt sqrt(mü) ?
jawoll, hab auch nur den text von oben kopiert und die zahlen geändert... :D
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so, dann die grenzfälle:
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für mue=0 ... da is der sqrt(mue)-grenzzyklus noch im entstehen, 
quasi gaaaaanz klein. also kannst du dir dein bild von mue zw 0 u 1 
vorstellen mit eingeschrumpftem mittleren kreis. der is dann so klein, 
dass es ein punkt ist und dann sieht das bild genauso aus wie bei mue kleiner 0 
... fertig
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für mue=1 is es etwas schwieriger. 
lass uns gedanklich von dem muezw0u1-bild starten : 
da verschmelzen ja die beiden kreise, der kreisring zwischen 
beiden verschwindet und mann sieht innen nur noch den bereich 
in dem die traj rauslaufen, in den "doppelten" kreis bei r=1. ... 
ABER außen is ja die ganze zeit das gleiche verhalten, nämlich ins 
unendliche laufende spiralen.
ALSO gehen am ende alle spiralen, ob drin oder draßen, nach außen, 
wobei die von drin kommen aber auf dem einheitskreis landen, 
während jede trajektorie die auch nur ein wenig außerhalb startet, 
sich immer weiter entfernt. :)

(eine gaaaanz clevere frage wäre nun: kann eine traj, von innen kommen
und irgendwann nach außen gelangen. ... und die antwort ist "nein, 
nicht ohne störungen von außen!" . denn wenn sie von innen kommt, 
nähert sie sich zwar immer mehr dem kreis, aber kommt nie darauf an, 
geschweige denn auf die andere seite!)

ÜBRIGENS: das selbe bild entsteht (und so muss es sein, sonst is was falsch!!!)
 wenn man gedanklich von dem muegrößer1-bild kommt. dann schrumpft 
der sqrt(mue)-kreis zusammen, bis er auf dem einheitskreis liegt. 
und außen läuft alles weg, während innnen alles in den kreis hineinspiralt.
... auch hier verschwindet einfach der kreisring. ;)
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okay, dann zum bifurkationsdiagramm.
zeichne bitte mit bleistift ein, wo sich überhaupt ruhelagen befinden, 
also bei r=0 und r=1 zwei geraden (sollten waagerechte striche werden, 
is ja ein mue-r-diagramm ;) ... ) ... und einen wurzelgraphen(KEINE RAMPE!!!) 
der im origo startet und durch (1,1) geht. 
(recall: die RL liegt bei sqrt(mue)!!! )

gut gut, dann kannst du mit einem "richtigen" stift die stabilitäten 
voll/gestrichelt einzeichnen.
also der r=0-strich wird links der 0 voll und rechts der 0 gestrichelt.
und der r=1-strich wird rechts der 1 voll und links der 1 gestrichelt.
und die parabel wird links der 1 voll und rechts der 1 gestrichelt.
genau so wie du es ja schon irgendwo zu stehen hast. ;)
(nun siehst du dass an den kreuzungspunkten die stabilität "übergeben" wird. :D )
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und wie heiß die bifurkationen???....subkrit. Hopfbifurk.... oder doch superkrit
:D ... da haben wir auch gerätselt. ... siehe thread.  ...
also die bei mue=0 is eine, deren namen wohl behandelt wurde.
www2.hu-berlin.de/biologie/theorybp/download/4/Bif_dim2_uebersicht.pdf  
... hier nennt man sie superkritische hopfbifurkation. (gaaanz unten in dem pdf ;) )
so hat das kienle sicher auch genannt. ... 

die zweite hingegen haben wir - wie du sicher gelesen hast - 
einfach "transkritische hopfbifurkation" genannt. :D
ich hab glaubich auch mal kienle gefragt, wie er das nennen würde, 
aber die antwort scheint mir damals nicht gefallen zu haben, 
sonst hätte ich sie mir sicher gemerkt. ... :D  ... ;)

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